Question

如圖，正方形OEFG繞著正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，邊OE、OG分別交邊AD、AB于點(diǎn)M、N．
（1）求證：OM=ON；
（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，求證：四邊形OMAN的面積是定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，再根據(jù)同角的余角相等可得∠AOM=∠BON，然后利用“角邊角”證明△AOM和△BON全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）作OG⊥AB，OH⊥AD分別于點(diǎn)G，H，證明直角△AOH≌直角△AOG，即可得到S_{四邊形OMAN}=S_{正方形OHAG}從而求解．

解答：解：（1）證明：在正方形ABCD中，∠OAM=∠OBN=45°，OA=OB，
∵∠AOM+∠AON=∠EOG=90°，
∠BON+∠AON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
∵在△AOM和△BON中，

∠MAO=∠NBO OA=OB ∠AOM=∠BON

，
∴△AOM≌△BON（ASA），
∴OM=ON；

（2）作OG⊥AB，OH⊥AD分別于點(diǎn)G，H．則OH=OG，四邊形OHAG是正方形．
∵在Rt△AOH和Rt△AOG中，

OA=OA OH=OG

，
∴Rt△AOH≌Rt△AOG（HL），
∴S_{四邊形OMAN}=S_{正方形OHAG}=

1

4

a²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵是正確的利用旋轉(zhuǎn)不變量．正確作出輔助線是關(guān)鍵．