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14.有一邊長為4的等腰三角形,它的另兩邊長是方程x2-10x+k=0的兩根,求這個三角形的面積.

分析 設方程x2-10x+k=0的兩根為a、b,根據一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與系數的關系得到a+b=10,然后討論:當a和b為腰,即a=b,則a=b=5,求出底邊上的高,即可得出三角形的面積;當a為腰,b為底邊:a=4,則b=6;b=4,則a=6;求出底邊上的高,即可得出三角形的面積.

解答 解:設方程x2-10x+k=0的兩根為a、b,
∴a+b=10,
而a、b是一邊為3的等腰三角形的兩邊長,
當a和b為腰,即a=b,則a=b=5,
由勾股定理得:底邊上的高=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$,
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$;
當a為腰,b為底邊:
①a=4,則b=6,
由勾股定理得:底邊上的高=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$,
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{7}$=3$\sqrt{7}$;
②b=4,則a=6,
由勾股定理得:底邊上的高=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$.
綜上所述,這個三角形的面積為2$\sqrt{21}$或3$\sqrt{7}$或8$\sqrt{2}$.

點評 本題考查了勾股定理、一元二次方程的根與系數的關系、等腰三角形的性質、三角形面積的計算;熟練掌握等腰三角形的性質和勾股定理,注意分類討論.

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