Question

14．有一邊長為4的等腰三角形，它的另兩邊長是方程x²-10x+k=0的兩根，求這個三角形的面積．

Answer 1

分析 設方程x²-10x+k=0的兩根為a、b，根據一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系得到a+b=10，然后討論：當a和b為腰，即a=b，則a=b=5，求出底邊上的高，即可得出三角形的面積；當a為腰，b為底邊：a=4，則b=6；b=4，則a=6；求出底邊上的高，即可得出三角形的面積．

解答 解：設方程x²-10x+k=0的兩根為a、b，
∴a+b=10，
而a、b是一邊為3的等腰三角形的兩邊長，
當a和b為腰，即a=b，則a=b=5，
由勾股定理得：底邊上的高=$\sqrt{{5}^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{21}$，
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×4×$\sqrt{21}$=2$\sqrt{21}$；
當a為腰，b為底邊：
①a=4，則b=6，
由勾股定理得：底邊上的高=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{7}$=3$\sqrt{7}$；
②b=4，則a=6，
由勾股定理得：底邊上的高=$\sqrt{{6}^{2}-{2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴三角形的面積=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$．
綜上所述，這個三角形的面積為2$\sqrt{21}$或3$\sqrt{7}$或8$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了勾股定理、一元二次方程的根與系數的關系、等腰三角形的性質、三角形面積的計算；熟練掌握等腰三角形的性質和勾股定理，注意分類討論．