Question

【題目】拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C，其中B(4，0)，C(0，2)，點P為拋物線上一動點，過點P作PQ平行BC交拋物線于Q．

（1）求拋物線的解析式；

（2）①當P、Q兩點重合時，PQ所在直線解析式為 ；②在①的條件下，取線段BC中點M，連接PM，判斷以點P、O、M、B為頂點的四邊形是什么四邊形，并說明理由？

（3）已知N(0，)，連接BN，K(3，0)，KE∥y軸，交BN于E，x軸上有一動點F，∠EFN＝60°，求OF的長．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-x+2；（2）①y=-x；②以點P、O、M、B為頂點的四邊形是菱形，理由見解析；（3）1或．

【解析】

（1）把B，C兩點的坐標代入，得出方程組求解即可；
（2）①求出BC的解析式為y=-x+2，，因PQ∥BC，可設出PQ的解析式為y=-x+n，P、Q兩點重合可理解為PQ與拋物線只有一個公共點，由聯立方程組得到的一元二次方程的根的判別式為0列出方程求得結果；②根據題意求出P、M點的坐標，從而得出OP、OM、BM、BP的長度便可得出結論；
（3）易證∠BNO=60°，在y軸上取一點L，構造等邊△ENL，再作△ENL的外接圓⊙H，該圓與x軸的交點便是滿足條件的F點．根據等邊三角形的性質和勾股定理求得OF便可．

解：（1）把B（4，0），C（0，2）代入y=x2+bx+c得，

，解得，

∴拋物線的解析式為y=x2-x+2；

（2）①設BC的解析式為：y=kx+m（k≠0），則

，解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+2，
∵PQ∥BC，
∴設直線PQ的解析式為：y=-x+n，

當P、Q兩點重合時，即直線PQ與拋物線只有一個公共點，

由方程組，消去y整理得x2-4x+4-2n=0，
∴=16-16+8n=8n=0，∴n=0，
∴PQ的解析式為：y=-x．

故答案為：y=-x；
②如圖1，以點P、O、M、B為頂點的四邊形是菱形．

理由如下：
∵M是BC的中點，B（4，0），C（0，2），
∴M（2，1），

聯立方程組，解得，

∴P（2，-1），
∴OP=PB=OM=BM=，
∴四邊形OPBM是菱形；

（3）∵N（0，-），B（4，0），∴ON=，OB=4，
∴NB的解析式為y=，

∴tan∠BNO=，

∴∠BNO=60°，
∵K（3，0），KE∥y軸，∴∠KEB=60°，KB=1，

∴KE=，∴E（3，-），
在y軸上取一點L，使得NL=NE，連接LE，則△ENL為等邊三角形，過E作EG⊥y軸于G，作△ENL的外接圓⊙H，與x軸交于點F和F'點，連接FN、F'N、EF、EF'、HA，如圖2，

則∠EFN=∠EF'N=∠ECN=60°，點H在EG上，且HG=EG＝1，HA⊥x軸，HA=EK=，HE=HF=HF'=2，
∴AF=AF'=，

∴OF=1，OF'=．

故OF的長為1或．