Question

【題目】如圖，是的直徑，點是弧上一點，且，與交與點．

(1)求證：是的切線；

(2)若平分，求證：；

(3)在(2)的條件下，延長，交于點，若，，求的長和的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）已知，，得到根據是的直徑，得到，所以，即可證明是的切線．

（2）利用同弧所對的圓周角相等和角平分線的定義可得到∠DEA=∠DBE，通過證得△DEF∽△DBE即可求解；

（3）根據題意畫出圖形，連接DA、DO，不難得到OD∥BE，進而有，由PA=AO可得到，結合ED的長即可得到PD的長；由圓內接四邊形的對角互補可得到∠ABE+∠ADE=180°，結合平角和平行線的性質可得到∠PDA=∠AOD，進一步可得到△PDA∽△POD，結合相似三角形的性質即可得到OA的長．

（1）∵，

∴

∵是的直徑

∴

∴

∴

即

又∵是的直徑

∴是的切線

（2）∵∠DEA和∠ABD都是所對的圓周角，

∴∠DEA=∠ABD

∵BD平分∠ABE

∴∠ABD=∠DBE

∴∠DEA=∠DBE

∵∠EDB=∠BDE，∠DEA=∠DBE，

∴△DEF∽△DBE，

∴

∴

（3）根據題意畫出圖形，連接DA、DO

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD

∵∠EBD=∠OBD

∴∠EBD=∠ODB

∴OD∥BE

∴

∵PA=AO

∴PA=AO=OB，

∴

∴

∴

∵DE=2，

∴PD=4

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE

∵OD∥BE

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD

∵∠P=∠P，∠PDA=∠AOD

∴△PDA∽△POD

∴

設OA=x，則PA=x，PO=2x

∵PD=4，，PA=x，PO=2x

∴

∴x=

∴OA=

故答案為：