Question

如圖，AB切⊙O于點B，OA交⊙O于C點，過C作DC⊥OA交AB于D，且BD：AD=1：2．
（1）求∠A的正切值；
（2）若OC=1，求AB及

BC

的長．

Answer 1

分析：（1）易知DB、DC都是⊙O的切線，由切線長定理可得DB=DC，那么結(jié)合已知條件則有：DC：AD=1：2；即Rt△ACD中，sinA=

1

2

，由此可求出∠A的度數(shù)，進而可的∠A的正切值．
（2）連接OB．在構(gòu)建的含30°角的Rt△OBA中，已知了OB=OC=1，可求出AB的長及∠BOC的度數(shù)；進而可根據(jù)弧長公式求出弧BC的長．

解答：解：（1）（方法一）∵DC⊥OA，OC為半徑且點C在⊙O外端，
∴DC為⊙O的切線；
∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；
在Rt△ACD中，
∵sinA=

DC

AD

，BD：AD=1：2，
∴sinA=

1

2

；∴∠A=30°，
∴tanA=

3

3

．
（方法二）∵DC⊥OA，OC為半徑且點C在⊙O外端．
∴DC為⊙O的切線；
∵AB為⊙O的切線，∴DC=DB；
∵BD：AD=1：2，∴CD：AD=1：2；
∴設(shè)CD=k，AD=2k；
∴AC=

3

k；
∴tanA=

DC

AC

=

3

3

．

（2）連接OB；
∵AB是⊙O的切線，
∴OB⊥AB．
在Rt△AOB中，
∵tanA=

OB

AB

，OB=1；
∴AB=

3

∵∠A=30°，∴∠O=60°；
∴

BC

的長=

π

3

．

點評：掌握切線的判定方法，綜合運用切線長定理、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的概念進行計算；熟悉30°的直角三角形的性質(zhì)以及弧長公式．