Question

觀察：已知x≠1．（1﹣x）（1+x+x²）=1﹣x^3；（1﹣x）（1+x+x²+x³）=1﹣x⁴
猜想：（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）= _________
（1）根據你的猜想請你計算下列式子的值：
①（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）= _________
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ= _________
③（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）= _________
（2）通過以上規律請你進行下面的探素：
①（a﹣b）（a+b）= _________
②（a﹣b）（a²+ab+b²）= _________
③（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）= _________
根據尋找的規律解答下列問：
（3）判斷2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的個位數是幾？并說明你的理由．

Answer 1

解：（1﹣x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1﹣xⁿ⁺¹；
（1）①（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1﹣2⁶=1﹣64=﹣63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n﹣1）=﹣2（1﹣2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n﹣1）=﹣2（1﹣2ⁿ）=2ⁿ⁺¹﹣2；
③（x﹣1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=﹣（1﹣x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰﹣1；
（2）①（a﹣b）（a+b）=a²﹣b²；
②（a﹣b）（a²+ab+b²）=a³﹣b³；
③（a﹣b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴﹣b⁴；
（3）2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1
=﹣（1﹣2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）
=﹣（1﹣2²⁰¹¹）=2²⁰¹¹﹣1，
∴2011÷4=502…3，
而2的乘方的個位數是2、4、8、6的循環，
∴22011﹣1的個位數為7．
故答案為：1﹣xⁿ⁺¹；﹣63；2ⁿ⁺¹﹣2；x¹⁰⁰﹣1；a²﹣b²；a³﹣b³；a⁴﹣b⁴．