Question

觀察：已知x≠1．
（1-x）（1+x）=1-x²
（1-x）（1+x+x²）=1-x³
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
…
猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

；
應用：根據你的猜想請你計算下列式子的值：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=

-63

；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=

2ⁿ⁺¹-2

；
拓廣：①（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=

x¹⁰⁰-1

；
②判斷2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的個位數是幾？并說明你的理由．

Answer 1

分析：根據一系列等式總結出規律即可；
應用①利用得出的規律計算即可得到結果；
②所求式子變形后，利用得出的規律計算即可得到結果；
拓廣①所求式子第一個因式提取-1變形后，利用得出的規律計算即可得到結果；
②所求式子個位上數字為2，理由為：將所求式子變形后，利用規律計算，根據以2為底數的冪結果以2，4，8，6循環，用2011除以4得到余數為3，即可得到結果個位上的數字為2．

解答：解：猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
拓廣：①（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=x¹⁰⁰-1；
②個位上數字為2，理由為：
∵2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1
=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）
=-1+2²⁰¹¹，
∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，…，其結果以2，4，8，6循環，
∴2011÷4=502…3，
則2²⁰¹¹個位上數字為8，即-1+2²⁰¹¹個位上數字為7．

點評：此題考查了整式混合運算的應用，找出本題的規律是解本題的關鍵．