Question

觀察：已知x≠1．
（1-x）（1+x+x²）=1-x³
（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴
猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

1-xⁿ⁺¹

（1）根據你的猜想請你計算下列式子的值：
①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=

-63

②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=

2ⁿ⁺¹-2

③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=

x¹⁰⁰-1

（2）通過以上規律請你進行下面的探素：
①（a-b）（a+b）=

a²-b²

②（a-b）（a²+ab+b²）=

a³-b³

③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=

a⁴-b⁴

根據尋找的規律解答下列問：
（3）判斷2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的個位數是幾？并說明你的理由．

Answer 1

分析：根據題意易得（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；（1）利用猜想的結論得到①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；②先變形2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1），然后利用上述結論寫出結果；③先變形得到（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹），然后利用上述結論寫出結果；
（2）根據規律易得）①（a-b）（a+b）=a²-b²；②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
（3）由2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）=-（1-2²⁰¹¹）=2²⁰¹¹-1，根據2的乘方的個位數是2、4、8、6的循環和2011÷4=502…3，即可得到
2²⁰¹¹-1的個位數．

解答：解：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=1-xⁿ⁺¹；
（1）①（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵）=1-2⁶=1-64=-63；
②2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ=2（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+…+2^n-1）=-2（1-2ⁿ）=2ⁿ⁺¹-2；
③（x-1）（x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+…+x²+x+1）=-（1-x）（1+x+x²+…+x⁹⁹）=-（1-x¹⁰⁰）=x¹⁰⁰-1；
（2）①（a-b）（a+b）=a²-b²；
②（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
③（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
（3）2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=-（1-2）（2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1）=-（1-2²⁰¹¹）=2²⁰¹¹-1，
∵2011÷4=502…3，
而2的乘方的個位數是2、4、8、6的循環，
∴2²⁰¹¹-1的個位數為7．
故答案為1-xⁿ⁺¹；-63；2ⁿ⁺¹-2；x¹⁰⁰-1；a²-b²；a³-b³；a⁴-b⁴．

點評：本題考查了整式的混合運算：先進行乘方運算，然后進行乘除運算，再進行加減運算；有括號先算括號．也考查了實數的運算．