Question

（2011•長寧區一模）已知：如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，且AD是BD與DC的比例中項．求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析：由AD是BD與DC的比例中項，根據比例中項的性質，即可得AD²=BD•BC，∠B=∠B，可知△ABD∽△CAD，由AD是△ABC的邊BC上的高，則可求得∠BAC=90°，故△ABC是直角三角形．

解答：證明：∵AD是BD與DC的比例中項，
∴AD²=BD•DC，
∴

AD

BD

=

DC

AD

，
∵AD是△ABC的邊BC上的高，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴∠B=∠CAD，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°，
∴△ABC是直角三角形．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．