Question

18．如圖，DA=DE，∠ADE=90°，C為DE延長線上一點，AB⊥AC，且AB=AC，延長AD交BE于F．
（1）求證：EF=BF；
（2）求$\frac{DF}{CE}$的值．

Answer 1

分析 （1）過點B做BG⊥AF交AF的延長線于點G，由∠ADE=90°，AB⊥AC，證得∠BAF=∠ACD，推出△ABG≌△CAD，于是得到BG=AD，AG=CD，證得△BFG≌△EFD，即可得到結論；
（2）由（1）證得：△BFG≌△EFD，得到FG=FD，由于AG=AD+DG，CD=DE+EC，根據等量代換得到結論．

解答 證明：（1）過點B做BG⊥AF交AF的延長線于點G，
∵∠ADE=90°，AB⊥AC，
∴∠BAF+∠CAD=90°，∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BAF=∠ACD，
在△ABG與△CAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠BAC}\\{∠BAF=∠ACD}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABG≌△CAD，
∴BG=AD，AG=CD，
∵DE=AD，
∴BG=DE，
在△BFG與△EFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGF=∠FDE}\\{GF=FD}\\{∠BFG=∠DFE}\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△EFD，
∴BF=EF；

（2）由（1）證得：△BFG≌△EFD，
∴FG=FD，
∵AG=AD+DG，CD=DE+EC，
∴DG=CE，CE=2DF，
∴$\frac{DF}{CE}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．