Question

如圖，AB為⊙O的直徑，直線與⊙O相切于點C，過點A作AD⊥于點D，交⊙O于點E．

（1）求證：∠CAD＝∠BAC；[（2）若sin∠BAC＝，BC＝6，求DE的長．

Answer 1

（1）見解析 （2）DE=

解析試題分析：（1）連接OC，根據切線性質得到AD∥CD，則∠CAD=∠ACO，根據OC=OA得到∠ACO=∠OAC，從而說明∠CAD=∠BAC；（2）做BF⊥l，連接BE，根據直徑所對的圓周角等于90°說明四邊形DEBF為矩形，根據垂直的定義說明∠BCF=∠BAC，根據∠BAC的正弦值得出BF的長度，從而得出DE的長度.
試題解析：（1）證明：連接OC，∵CD為⊙O的切線，∴OC⊥CD，
  
∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠ACO．又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC，即∠CAD＝∠BAC．    
（2）過點B作BF⊥于點F，連接BE，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，
又AD⊥于點D，∴∠AEB＝∠ADF＝∠BFD＝90°，∴四邊形DEBF是矩形，

∴DE＝BF．  ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCF＝90°．∵∠ADC＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠BCF＝∠CAD．  ∵∠CAD＝∠BAC，  ∴∠BCF＝∠BAC． 
在Rt△BCF中，BC＝6，    sin∠BCF＝＝sin∠BAC＝，
∴BF＝＝    ∴DE＝BF＝．      
考點：切線的性質、平行線的性質、矩形的性質、銳角三角函數的應用.