Question

已知：⊙O是正三角形ABC的外接圓．
（1）如圖1，若PC為⊙O的直徑，連接AP，BP，求證：AP+BP=PC；
（2）如圖2，若點P是弧AB上任一點，連接AP，BP，那么結論AP+BP=PC還成立嗎？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△ABC為正三角形，和直徑所對的圓周角是90度，可得到直角三角形，利用直角三角形的特殊性質即可求解；
（2）在PC上取一點D，使PD=PA，連接AD，先證明△APD為等邊三角形，再求得△APB≌△ADC，得到PB=DC，通過等量代換即可求解．
解答：證明：（1）∵△ABC為正三角形，
∴∠APC=∠BPC=60°，
∵PC為⊙O的直徑，
∴∠PAC=∠PBC=90°，
∴AP=BP=PC，
∴AP+BP=PC；

（2）成立．
在PC上取一點D，使PD=PA，連接AD；
∵∠APD=60°，
∴△APD為等邊三角形，
∴AD=PD；
∵∠PAD=∠BAC=60°，
∴∠PAB=∠DAC，
∵AP=AD，AB=AC，
∴△APB≌△ADC，
∴PB=DC，
∴PA+PB=PD+DC=PC．
點評：主要考查了等邊三角形的外接圓的性質和等邊三角形的性質，以及全等三角形的判定．要掌握這些性質才能靈活解題．