Question

已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5．
求：∠APB的度數(shù)．（初二）

Answer 1

分析：先把△ABP旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知△BCQ≌△BAP，由于∠PBQ=60°，BP=BQ，易知△BPQ是等邊三角形，從而有PQ=PB=4，而PC=5，CQ=3，根據(jù)勾股定理逆定理易證△PQC是直角三角形，即∠PQC=90°，進(jìn)而可求∠APB．

解答：解：把△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△BCQ，連接PQ，
∵∠PBQ=60°，BP=BQ，
∴△BPQ是等邊三角形，
∴PQ=PB=4，
而PC=5，CQ=4，
在△PQC中，PQ²+QC²=PC²，
∴△PQC是直角三角形，
∴∠BQC=60°+90°=150°，
∴∠APB=150°．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是考慮把PA、PB、PC放在一個(gè)三角形中，而旋轉(zhuǎn)恰好能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)．