Question

（2004•靜安區二模）如圖，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，點O₁、O₂在BC上，⊙O₁與⊙O₂外切于P，⊙O₁與AB相切于點D，與AC相離，⊙O₂與AC相切于E，與AB相離．
（1）求證：DP∥AC；
（2）設⊙O₁的半徑為x，⊙O₂的半徑為y，求y與x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）△ADP能否為直角三角形？如果能夠，請求出⊙O₂的半徑；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接O₁D，有切線的性質和已知條件證明∠DPO₁=30°，再證明∠C=∠B=30°，進而證明∠DPO₁=∠C，有同位角相等兩線平行即可證明DP∥AC；
（2）連接O₂E，作AH⊥BC，垂足為H，根據切線長定理和解直角三角形的知識即可求出求y與x的函數解析式，進而求出自變量的取值范圍；
（3）△ADP能為直角三角形，此小題需要分當∠DPA=90°時；當∠DAP=90°時；當∠ADP=90°時，三種情況分別討論，根據已知條件求出滿足題意的半徑值即可．

解答：（1）證明：連接O₁D，
∵⊙O₁與AB相切于點D，
∴∠BDO₁=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BO₁D=60°，
∵O₁D=O₁P，
∴∠DPO₁=∠PDO₁，
∵∠DO₁P=∠DPO₁+∠PDO₁=2∠DPO₁，
∴∠DPO₁=30°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B=30°．
∴∠DPO₁=∠C，
∴DP∥AC；

（2）解：連接O₂E，作AH⊥BC，垂足為H．
∵⊙O₂與AC相切于E，∴∠CEO₂=90°．
∵∠C=30°，PO₂=EO₂=y，∴CO₂=2EO₂=2y，
同理：PO₁=x，BO₁=2x．
在Rt△ABH中，BH=AB•cosB=6•coc60°=3

3

，
∴BC=2BH=6

3

，
∴2x+x+y+2y=6

3

∴函數解析式為y=2

3

-x，定義域為：

3

2

＜x＜

3 3

2

；

（3）解：△ADP能為直角三角形．
當∠DPA=90°時，∵DP∥AC，∴∠PAC=90°，
在Rt△APC中，CP=

AC

sinC

=

6

sin30°

=4

3

，
∴y+2y=4

3

，
∴y=

4 3

3

，
即⊙O₂的半徑為

4 3

3

，
當∠DAP=90°時，在Rt△ABP中，同理可求得x=

4 3

3

∴y=2

3

-

4 3

3

=

2 3

3

，
即⊙O₂的半徑為

2 3

3

，
由于∠ADO₁=90°，所以∠ADP不可能為90°．
綜上所述⊙O₂的半徑為

4 3

3

或

2 3

3

．

點評：本題綜合考查了兩圓外切的性質、兩平行線的判定和性質、直角三角形的判定和直角三角形的性質以及解直角三角形的運用，題目綜合性強難度大．