Question

2．德國著名數學家高斯在上小學時，有一次老師讓同學計算“從1到100這100個正整數的和”，許多同學都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常煩瑣，且易出錯．聰明的小高斯經過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．
解：設S=1+2+3+…+100，①
則S=100+99+98+…+1．②
①+②，得
2S=101+101+101+…+101．
所以2S=100×101，
S=$\frac{1}{2}$×100×101=50×101=5050
所以1+2+3+…+100=5050．
后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．
閱讀上面扥文字，解答下面的問題：
（1）請你運用高斯的“倒序相加法”計算：1+2+3+…+200．
（2）請你運用高斯的“倒序相加法”計算：1+2+3+…+n．
（3）請你利用（2）中的結論計算：1+2+3+…+2000．

Answer 1

分析 （1）通過觀察可知，題目中的加數構成一個公差為1的等差數列，則本題根據高斯求和的有關公式計算即可；
（2）根據等差數列和=（首項+末項）×項數÷2，即可解答；
（3）根據（2）中的規律，即可解答．

解答 解：（1）1+2+3+4+5+…+200
=（1+200）×200÷2
=201×200÷2
=20100．
（2）1+2+3+…+n
=（1+n）•n÷2
=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（3）1+2+3+…+2000
=$\frac{2000×（2000+1）}{2}$=2001000．

點評 本題考查了有理數的加法，解決本題的關鍵是明確等差數列和=（首項+末項）×項數÷2．