Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AB=25，BC=15.

（1）如圖1，折疊△ABC使點A落在AC邊上的點D處，折痕交AC、AB分別于Q、H，若，則HQ= .

（2）如圖2，折疊△ABC使點A落在BC邊上的點M處，折痕交AC、AB分別于E、F.若FM∥A，求證：四邊形AEMF是菱形；

（3）在（1）（2）的條件下，線段CQ上是否存在點P，使得△CMP和△HQP相似？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）HQ=5；（2）證明見解析；（3）PQ=或..

【解析】

（1）利用勾股定理求出AC，設HQ=x，根據S△ABC=9S△DHQ，構建方程即可解決問題；

（2）想辦法證明四邊相等即可解決問題；

（3）設AE=EM=FM=AF=4m，則BM=3m，FB=5m，構建方程求出m的值，分兩種情形分別求解即可解決問題；

（1）如圖1中，

在△ABC中，90°，AB=25,BC=15,

,設HQ=x，

故答案為：5.

（2）如圖2中，

由翻折不變可知：AE=EM,AF=FM,∠AFE=∠MFE

.

（3）如圖3中，

設AE=AE=FM=AF=4m，則BM=3m，FB=5m，

設PQ=x

當時，△HQP△MCP

解得：

當時，△HQP△PCM

解得：

經檢驗：是分式方程的解，且符合題意,

綜上所訴，滿足條件長QP的值為或者.