Question

（本題滿分12分）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)A，B．點(diǎn)M、N在x軸上，點(diǎn)N在點(diǎn)M右側(cè)，MN＝2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN＝90°．設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．

（1）當(dāng)點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)，求m的值．

（2）將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN．

①當(dāng)點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．

②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當(dāng)點(diǎn)E在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求m的值．

Answer 1

（1）；（2）①（ ，－2）；② 或 或 或．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），再將C的坐標(biāo)代入，即可求出m的值；

（2）①先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣2），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)點(diǎn)D在直線上，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE時(shí)，分別以D、N為直角頂點(diǎn)，在DN的兩側(cè)分別作出等腰直角三角形DNE，E點(diǎn)的位置分四種情況討論．針對(duì)每一種情況，都可以先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)E在直線上，列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．

試題解析：（1）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，2），∵點(diǎn)C（m，2）在拋物線上，∴，解得，．∴點(diǎn)C在這條拋物線上時(shí)，m的值為或；

（2）①∵將線段CN繞點(diǎn)N逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對(duì)應(yīng)線段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣2）．又∵拋物線的對(duì)稱軸為直線，點(diǎn)D在這條拋物線的對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，﹣2）；

②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點(diǎn)的位置有四種情況：如果E點(diǎn)在E1的位置時(shí)，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣2），MN=ME1=2，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點(diǎn)E1的（m﹣2，0），∵點(diǎn)E1在拋物線的對(duì)稱軸直線上，∴，解得；

如果E點(diǎn)在E2的位置時(shí)，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點(diǎn)E2的（m+2，﹣4），∵點(diǎn)E2在拋物線的對(duì)稱軸直線上，∴，解得；

如果E點(diǎn)在E3的位置時(shí)，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣2），∴點(diǎn)E3的（m，2），∵點(diǎn)E3在拋物線的對(duì)稱軸直線上，∴；

如果E點(diǎn)在E4的位置時(shí)，∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，﹣2），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點(diǎn)E4的（m+4，﹣2），∵點(diǎn)E4在拋物線的對(duì)稱軸直線上，∴，解得；

綜上可知，當(dāng)點(diǎn)E在這條拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，所有符合條件的m的值為 或 或 或．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．