Question

如圖，等邊三角形ABC的邊長為6cm，動點P從點A出發(fā)以2cm/秒的速度沿AC方向向終點C運動，同時動點Q從點C出發(fā)以1cm/秒的速度沿CB方向向終點B運動，過點P、Q分別作邊AB的垂線段PM、PN，垂足分別為點M、N．設P、Q兩點運動時間為t秒（0＜t＜3），四邊形MNQP的面積為S cm²．

（1）在點P、Q在運動的過程中，t為何值時，PQ∥AB？

（2）求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關系式．

（3）是否存在某一時刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

 

【考點】相似形綜合題．

【分析】（1）當PQ∥AB時，由△ABC是等邊三角形，得出△PQC是等邊三角形，PC=QC，得出方程6﹣2t=t，解方程即可；（2）△APM和△BQN都是有一個角是60°的直角三角形，根據(jù)勾股定理可分別求出AM，PM，BN和QN，然后求出直角梯形的高MN．用梯形面積公式求出四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關系式；

（3）根據(jù)題意列出方程即可解得t的值，然后看是否滿足0＜t＜4．

【解答】解：（1）t=2s時，PQ∥AB；理由如下：

當PQ∥AB時，∵△ABC是等邊三角形，

∴△PQC是等邊三角形，

∴PC=QC，

∴6﹣2t=t，

解得：t=2，

即t=2s時，PQ∥AB；

（2）根據(jù)題意得：AP=2t，QB=8﹣t，△APM和△QNB是直角三角形，四邊形MNQP是直角梯形．

在Rt△APM和Rt△QNB中，AM=AP=t，PM=t，BN=（6﹣t），QN=（6﹣t），

∴MN=AB﹣AM﹣BN=6﹣t﹣（6﹣t）=3﹣t，

∴S=（PM+QN）•MN= [t+（6﹣t）]•（3t）=﹣t²+，

即S=﹣t²+；

（3）假設存在某一時刻t，使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的，

即S=S_△ABC，

﹣t²+=××6²，

整理得：t²=8，

解得：t=±2（負值舍去），

∴t=2s時，四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的．

【點評】本題是相似形綜合題，考查了正三角形的性質和直角三角形的性質、三角形和梯形面積的計算、函數(shù)解析式的求法以及方程的知識；本題難度較大，綜合性強，把函數(shù)和面積融合在一起，比較復雜，檢測學生的計算能力．