Question

【題目】如圖，已知AB⊥BC，CD⊥BC，AB=4，CD=2．P為線段BC上的點，設BC=m．

⑴若m=9，

①若△BAP∽△CDP，求線段BP的長；

②若△BAP∽△CPD，求線段BP的長；

⑵試求m為何值時，使得△BAP與△CDP相似的點P有且只有2個．

Answer 1

【答案】（1）①6；②8或1；（2）m=6或4

【解析】

（1）根據相似三角形的性質即可得到結論；

（2）①當△BAP與△CDP都是等腰直角三角形時，兩三角形相似，于是得到結果；

②當根據相似三角形的性質和一元二次方程根的判別式即可得到結論．

（1）∵BC=9，∴PC=9﹣BP．

①∵△BAP∽△CDP，∴，即，解得：BP=6；

②∵△BAP∽△CPD，∴，即，解得：BP=8或1；

（2）①當△BAP與△CDP都是等腰直角三角形時，兩三角形相似，此時∠BPA=∠CPD=45°，則BP+PC=BC=AB+CD=6；

②當∠BAP=∠CPD時，△BAP∽△CPD，∴，即，∴BP2﹣mBP+8=0，∴△=m2﹣32=0，∴m=±4（負值舍去），∴m=4．

綜上所述：當m=6或4時，△BAP與△CDP相似的點P有且只有2個．