Question

如圖，⊙O的半徑OD經過弦AB(不是直徑)的中點C，過AB的延長線上一點P作⊙O的切線PE，E為切點，PE∥OD；延長直徑AG交PE于點H；直線DG交OE于點F，交PE于點K．

（1）求證：四邊形OCPE是矩形；

（2）求證：HK＝HG；

（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的長．

Answer 1

解：(1)∵AC＝BC，AB不是直徑，

∴OD⊥AB，∠PCO＝90°

∵PE∥OD,∴∠P＝90°，

∵PE是切線，∴∠PEO＝90°，

∴四邊形OCPE是矩形.

(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.

∵PE∥OD,∴∠K＝∠ODG.

∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK,

∴HK＝HG.

(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.

∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，∠K＝∠ODG.

∴△OFD∽△EFK，∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,

∴KE＝6.