Question

（2012•上城區二模）如圖，⊙O的半徑OD經過弦AB（不是直徑）的中點C，OE∥AB交⊙O于點E，PE∥OD，延長直徑AG，交PE于點H，直線DG交OE于點F，交PE于K．若EF=2，FO=1，則KH的長度等于

2

．

Answer 1

分析：根據△OFD∽△EFK，可將KE的長求出，由OG=OD，可知∠OGD=∠ODG，根據PE∥OD，可知∠K=∠ODG，因為對頂角∠OGD=∠HGK，可得∠K=∠HGK，故HK=HG，進而利用勾股定理得出即可．

解答：解：∵EF=2，OF=1，
∴EO=DO=3，
∵PE∥OD，
∴∠KEO=∠DOE，∠K=∠ODG，
∴△OFD∽△EFK，
∴EF：OF=KE：OD=2：1
∴KE=6，
∵AC=BC，AB不是直徑，
∴OD⊥AB，∠PCO=90°，
∵PE∥OD，
∴∠P=90°，
∵EO∥AB，
∴∠PEO=90°，
∵OG=OD，
∴∠OGD=∠ODG，
∵PE∥OD，
∴∠K=∠ODG，
∵∠OGD=∠HGK，
∴∠K=∠HGK，
∴HK=HG，
設KH=HG=x，
則HE=6-x，HO=3+x，EO=3，
則EO²+HE²=HO²，
即3²+（6-x）²=（3+x）²，
解得：x=2，
故KH的長度等于2，
故答案為：2．

點評：本題考查了三角形相似的判定和應用以及垂徑定理、勾股定理等知識應用，根據已知利用三角形相似得出KE長度，進而得出HK=HG是解題關鍵．