Question

13．如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始，沿AB邊以1cm/s的速度向點B運動：點Q從點B開始，沿BC邊以2cm/s的速度向點C運動，當點P運動到點B時，運動停止，如果P、Q分別從A、B兩點同時出發．
（1）幾秒后△PBQ的面積等于8cm²？
（2）幾秒后以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）設t秒后△PBQ的面積等于8cm，此時，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，再由三角形的面積公式即可得出結論；
（2）設x秒后以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，此時，AP=x，BP=6-x，BQ=2x，再分△BPQ∽△BAC與△BPQ∽△BCA兩種情況進行討論即可．

解答 解：（1）設t秒后△PBQ的面積等于8cm，此時，AP=t，BP=6-t，BQ=2t，
∵S_△PBQ=$\frac{1}{2}$BP•BQ，即$\frac{1}{2}$（6-t）×2t=8，即t2+6t+8=0，解得t₁=2，t₂=4．
∴2秒或4秒后，△PBQ的面積等于8cm²；

（2）設x秒后以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似，此時，AP=x，BP=6-x，BQ=2x，
①若△BPQ∽△BAC，則$\frac{BP}{BA}$=$\frac{BQ}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{2x}{12}$，解得x=3；
②若△BPQ∽△BCA，則$\frac{BP}{BC}$=$\frac{BQ}{BA}$，即$\frac{6-x}{12}$=$\frac{2x}{6}$，解得x=1.2．
綜上所述，1.2秒或3秒后，以P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評 本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關鍵．