一張半徑為2的半圓圖紙沿它的一條弦折疊，使其弧與直徑相切，如圖所示，O為半圓圓心，如果切點分直徑之比為3：1，則折痕長為

A.
3
B.
$數學公式$
C.
$數學公式$
D.
2 $數學公式$

C
分析：過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點為A、G，過切點F作PF⊥半徑OC交OP于P點，根據垂徑定理及其推論得到BD=DC，即OP為BC的中垂線，OP必過弧BGC所在圓的圓心，再根據切線的性質得到PF必過弧BGC所在圓的圓心，則點P為弧BGC所在圓的圓心，根據折疊的性質有⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F點分⊙O的直徑為3：1兩部分可計算出OF=1，在Rt△OPF中，設OG=x，利用勾股定理可計算出x，則由AG=PG-AP計算出AG，可得到DG的長，于是可計算出OD的長，在Rt△OBD中，利用勾股定理計算BD，即可得到BC的長．
解答：過O作弦BC的垂線OP，垂足為D，分別與弧的交點為A、G，過切點F作PF⊥半徑OC交OP于P點，如圖，

∵OP⊥BC，
∴BD=DC，即OP為BC的中垂線，
∴OP必過弧BGC所在圓的圓心，
又∵OE為弧BGC所在圓的切線，PF⊥OE，
∴PF必過弧BGC所在圓的圓心，
∴點P為弧BGC所在圓的圓心，
∵弧BAC沿BC折疊得到弧BGC，
∴⊙P為半徑等于⊙O的半徑，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，
∴OG=AP，
而F點分⊙O的直徑為3：1兩部分，
∴OF=1，
在Rt△OPF中，設OG=x，則OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x= $\text{[math]}$ -2，
∴AG=2-（ $\text{[math]}$ -2）=4- $\text{[math]}$ ，
∴DG= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
∴OD=OG+DG= $\text{[math]}$ -2+2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（ $\text{[math]}$ ）²，
∴BD= $\text{[math]}$ ，
∴BC=2BD= $\text{[math]}$ ．
故選C．
點評：本題考查了圓的綜合知識，注意折疊后兩圖形全等，即對應線段相等，對應角相等．也考查了垂徑定理、切線的性質以及勾股定理．

練習冊系列答案

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（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x的值，使重疊部分的面積等于原△ABC面積的

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