Question

如圖1所示，一張半圓形紙片，直徑AB=10，點C是半圓上的一個動點．沿半徑CO把這張紙片剪出△AC₁O₁和△BC₂O₂兩個三角形（如圖2所示）．將紙片△AC₁O₁沿直線O₂B（AB）方向平移（點A，O₁，O₂，B始終在同一直線上），當點O₁與點B重合時，停止平移．在平移過程中，C₁O₁與BC₂交于點E，AC₁與C₂O₂，BC₂分別交于點F、P．
（1）當△AC₁O₁平移到如圖3所示的位置時，猜想圖中的O₁E與O₂F的數量關系，并證明你的猜想；
（2）若∠CAB=30°，設平移距離O₁O₂為x，△AC₁O₁與△BC₂O₂重疊部分面積為y，請寫出y與x的函數關系式，以及自變量的取值范圍；
（3）對于（2）中的結論是否存在這樣的x的值，使重疊部分的面積等于原△ABC面積的

1

4

．若存在，求x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據平移的性質，得O₁B=O₂A，再根據平行線等分線段定理即可證明；
（2）根據30°直角三角形的性質、相似三角形的性質進行求解；
（3）在（2）的基礎上解一元二次方程即可．

解答：解：（1）O₁E=O₂F．理由如下：
∵O₁E∥O₂C₂，
∴

O1E

O2C2

=

O1B

O2B

，
同理

O2F

O1C1

=

O2A

O1A

，
根據平移的性質，知O₁B=O₂A，
∴O₁E=O₂F．

（2）∵AB是直徑，
∴∠C=90°，
∴∠B=90°-30°=60°，
∴∠APB=90°．
在直角三角形APB中，AB=10-x，
則BP=

1

2

AB=5-

1

2

x，
則AP=5

3

-

3

2

x．
則直角三角形APB的面積是

3

8

x2-

5 3

2

x+

25

2

3

．
∵O₁E∥O₂C₂，
∴

S△O2C2B

S△O1EB

=

25

(5-x)2

，
則S_△O1EB=

1

4

3

(5-x)2，
則y=

3

8

x2-

5 3

2

x+

25

2

3

-2×

1

4

3

(5-x)2=-

3 3

8

x2+

5

2

3

x（0≤x≤5）．

（3）根據題意，得-

3 3

8

x2+

5

2

3

x=

1

4

×

25

2

3

，
解，得x=

5

3

或5．

點評：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質、圓周角定理、平移的性質以及三角形的面積公式，難度較大．
在求不規則圖形的面積時，要哪個轉化為規則圖形的面積．