Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點D在線段BC上運動（D不與B、C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE與AC交于E．

（1）當∠BDA＝115°時，∠BAD＝_____°，∠DEC＝_____°；當點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變______（填”大”或”小”）；

（2）當DC＝AB＝2時，△ABD與△DCE是否全等？請說明理由：

（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠BDA的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）25，115，小；（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE；理由見解析；（3）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形．

【解析】

（1）首先利用三角形內角和為180°可算出∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°；再利用鄰補角的性質和三角形內角和定理可得∠DEC的度數；

（2）當DC＝2時，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，求出∠ADB＝∠DEC，再利用AB＝DC＝2，即可得出△ABD≌△DCE．

（3）分類討論：由（2）可知∠ADB＝∠DEC，所以∠AED與∠ADE不可能相等，于是可考慮∠DAE＝∠AED和∠DAE＝∠ADE兩種情況．

解：（1）∵∠B＝40°，∠ADB＝115°，AB＝AC，

∴∠BAD＝180°﹣40°﹣115°＝25°，∠C＝∠B＝40°；

∵∠ADE＝40°，∠ADB＝115°，

∴∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°．

∴∠DEC＝180°﹣40°﹣25°＝115°，

當點D從B向C運動時，∠BDA逐漸變小，

故答案為：25，115，小；

（2）當DC＝2時，△ABD≌△DCE，理由如下：

理由：∵∠C＝40°，

∴∠DEC+∠EDC＝140°，

又∵∠ADE＝40°，

∴∠ADB+∠EDC＝140°，

∴∠ADB＝∠DEC，

又∵AB＝DC＝2，

∴在△ABD和△DCE中，，

∴△ABD≌△DCE（AAS）；

（3）當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，理由如下：

∵當∠BDA＝110°時，

∴∠ADC＝70°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝70°，

∴∠AED＝180°-70°-40°=70°，

∴∠AED＝∠DAC，

∴AD=DE，

∴△ADE是等腰三角形；

∵當∠BDA的度數為80°時，

∴∠ADC＝100°，

∵∠C＝40°，

∴∠DAC＝40°，

∴∠DAC＝∠ADE，

∴AE=DE，

∴△ADE是等腰三角形．

綜上所述，當∠BDA的度數為110°或80°時，△ADE是等腰三角形.