Question

已知如圖，△ABC是等邊三角形，P是三角形外的一點，且∠ABP+∠ACP=180°．
求證：AP平分∠BPC．

Answer 1

分析：過點A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延長線于點N，利用垂直的定義得到一對直角相等，由鄰補角定義得到∠ACN+∠ACP=180°，又∠ABM+∠ACP=180°，可得出一對角相等，再由三角形ABC為等邊三角形，得到AB=AC，利用AAS可得出△ABM≌△ACN，利用全等三角形的對應邊相等得到AM=AN，由在角內部，到角兩邊距離相等的點一定在角的平分線上，可得出PA為∠BPC的平分線．

解答：證明：過點A作AM⊥BP，AN⊥PN，交PC的延長線于點N，
可得出∠AMB=∠ANC=90°，
∵∠ACN+∠ACP=180°，且∠ABM+∠ACP=180°，
∴∠ACN=∠ABM，
又△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
在△ABM和△ACN中，

∠AMB=∠ANC ∠ABM=∠ACN AB=AC

，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴AM=AN，又AM⊥BP，AN⊥PN，
∴PA平分∠BPC．

點評：此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，以及角平分線的逆定理，作出兩條垂線，構造全等直角三角形是解本題的關鍵．