Question

5．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=（x-m）²-m²+m（m＞0）的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．
（1）若m=2，則點A的坐標為（2，-2），點B的坐標為（0，2）；
（2）隨著m的變化，DE的長是否發生變化？如果不變，請求出DE的長；如果變化，請說明理由；
（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式？
②過點D作AB的平行線，與第（3）題第①題確定的函數圖象的另一個交點為P，當m為何值時，四邊形ABDP是平行四邊形？

Answer 1

分析 （1）把m=2代入到拋物線的解析式中，計算A和B的坐標即可；
（2）先證明△AFC≌△AED（AAS），得AF=AE，并根據解析式求出AF=AE=|m|=m，OB=m，再證明△FAB∽△EDA，列比例式為$\frac{BF}{AE}=\frac{AF}{DE}$，求DE=1；
（3）①表示點D的坐標為（2m，-m²+m+1），列方程組可求y關于x的函數關系式；
②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，然后分兩種情況：表示點P的坐標，代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+1解答．

解答 解：（1）當m=2時，y=（x-m）²-m²+m=（x-2）²-4+2=（x-2）²-2=x²-4x+2，
∴點A的坐標為（2，-2），點B的坐標為（0，2），
故答案為：（2，-2），（0，2）；
（2）隨著m的變化，DE的長不發生變化，理由是：
y=（x-m）²-m²+m=x²-2mx+m，
A（m，-m²+m），B（0，m），
如圖1，延長AE交BC于F，
∴∠AFC=∠AED=90°，
在△AFC和△AED中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠AED}\\{∠CAF=∠DAE}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AED（AAS），
∴AF=AE，∠ACB=∠ADE，
當x=m時，y=-m²+m，
當x=0時，y=m，
∴AF=AE=|m|=m，
∵∠ABF=90°-∠ACB=90°-∠ADE=∠DAE，
∵∠AFB=∠AED=90°，
∴△FAB∽△EDA，
∴$\frac{BF}{AE}=\frac{AF}{DE}$，
∵BF=OF+OB=m+m²-m=m²，
∴$\frac{{m}^{2}}{m}=\frac{m}{DE}$，
∴DE=1，
∴隨著m的變化，DE的長不發生變化；
（3）①由（2）得：A（m，-m²+m），
AF=AE=|m|=m，DE=1，
∴D（2m，-m²+m+1），
∵設點D的坐標為（x，y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2m}\\{y=-{m}^{2}+m+1}\end{array}\right.$，
m=$\frac{1}{2}$x，
∴y=-$（\frac{1}{2}x）^{2}$+$\frac{1}{2}$x+1=-$\frac{1}{4}{x}^{2}$+$\frac{1}{2}$x+1；
②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖2），
點P的橫坐標為3m，
點P的縱坐標為：（-m²+m+1）-m²=-2m²+m+1，
把P（3m，-2m²+m+1）的坐標代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+1得：
-2m²+m+1=-$\frac{1}{4}$×（3m）²+$\frac{1}{2}$×（3m）+1，
解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=2．

（Ⅱ）當四邊形ABPD為平行四邊形時（如圖3），
點P的橫坐標為m，
點P的縱坐標為：（-m²+m+1）+m²=m+1，
把P（m，m+1）的坐標代入y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+1得：
m+1=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+1，
解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=-2，
綜上所述：m的值為2或-2．

點評 本題是二次函數綜合題，考查了利用一點求二次函數的解析式、平行四邊形的性質、三角形全等的性質和判定及點與坐標特點等知識，難度適中，解答時要注意數形結合及分類討論．