Question

13．已知二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點A、B的橫坐標分別為3和2，與y軸交于點C．
（1）求這個二次函數的表達式；
（2）寫出這個二次函數的頂點坐標與對稱軸；
（3）連接AC、BC，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點A、B的橫坐標分別為3和2，可以得到點A、B的坐標，從而可以得到這個二次函數的表達式；
（2）將第（1）問中求得的函數解析式化為頂點式，即可得到這個二次函數的頂點坐標與對稱軸；
（3）根據第（1）問的解析式可以求得與y軸的交點，從而可以得到點C的坐標，由于A、B的坐標已知，從而可以求出△ABC的面積．

解答 解：（1）∵二次函數y=-x²+bx+c的圖象與x軸的兩個交點A、B的橫坐標分別為3和2，
∴點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-9+3b+c=0}\\{-4+2b+c=0}\end{array}\right.$
解得，b=5，c=-6，
即這個二次函數的表達式是：y=-x²+5x-6；
（2）∵y=-x²+5x-6=$-（{x}^{2}-5x）-6=-（x-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，
∴這個二次函數的頂點坐標是（$\frac{5}{2}，\frac{1}{4}$），對稱軸是直線x=$\frac{5}{2}$；
（3）∵y=-x²+5x-6與y軸交于點C，
∴x=0時，y=-6，
∴點C的坐標為（0，-6），
又∵點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（2，0），
∴${S}_{△ABC}=\frac{（3-2）×|-6|}{2}=3$，
即△ABC的面積是3．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點和用待定系數法求二次函數的解析式，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．