Question

等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中點為圓心作與兩腰相切的圓，過圓上一點F作切線交AB、AC于D、E，則BD•CE的值是（ ）

A．4
B．8
C．12
D．缺條件，不能求

Answer 1

【答案】分析：根據切線的性質得出：∠2=∠3，∠4=∠5，進而得出Rt△BON≌Rt△COM，得出∠1=∠6，求出∠7=∠5+∠6=∠EOC，進而即可得出△BOD∽△CEO，利用相似三角形的性質得出BD•EC=BO•CO=4即可．
解答：解：∵等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=4，以BC中點為圓心作與兩腰相切的圓
∴∠ABC=∠ACB，BO=CO=2，
設⊙O與AB，AC分別相切于點N，M，過圓上一點F作切線交AB、AC于D、E，
連接ON，OM，FO，
故∠OND=∠OFD=∠OMC=90°，DN=DF，EF=EM，∠FDO=∠NDO，
可得：∠2=∠3，同理可得出：∠4=∠5，
在Rt△BON和Rt△COM中，
∵，
∴Rt△BON≌Rt△COM（HL），
∴∠1=∠6，
∴∠1+∠3+∠4=∠2+∠5+∠6=90°，
∵∠7=90°-∠2，
∴∠7=∠5+∠6=∠EOC，
又∵∠B=∠C，
∴△BOD∽△CEO，
∴=，
∴BD•EC=BO•CO=4．
故選：A．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及切線的性質定理和相似三角形的判定與性質等知識，根據已知得出△BOD∽△CEO是解題關鍵．