Question

已知等腰三角形△ABC中，AB=AC，∠C的平分線與AB邊交于點P，M為△ABC的內切圓⊙I與BC邊的切點，作MD∥AC，交⊙I于點D．
證明：PD是⊙I的切線．

Answer 1

分析：過P點作出圓的切線，Q點為切點，通過證明Q點與D點重合來證明DPD與圓相切．

解答：證明：過點P作⊙I的切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N．
∵CP為∠ACB的平分線，
∴∠ACP=∠BCP．
又∵PA、PQ均為⊙I的切線，
∴∠APC=∠NPC．
又CP公共邊，
∴△ACP≌△NCP，
∴∠PAC=∠PNC．
由NM=QN，BA=BC，
∴△QNM∽△BAC，
故∠NMQ=∠ACB，
∴MQ∥AC
又∵MD∥AC，
∴MD和MQ為同一條直線．
又點Q、D均在⊙I上，
∴點Q和點D重合，
故PD是⊙I的切線．

點評：本題考查了切線的證明，和以往證明切線不同，本題采用了一種全新的證明切線的方法，即：作圓的切線，證明要證明的切線與所作切線重合．