Question

一個圓周上有12個點：A₁，A₂，A₃，…，A₁₁，A₁₂．以它們為頂點連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交．問：有多少種連法？

Answer 1

分析：利用遞推的方法，結合圖表依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數，進而得出結論．

解答：解：（1）如果圓上只有3個點，那么只有一種連法；
（2）如果圓上有6個點，除A₁所在三角形的三頂點外，剩下的三個點一定只能在A₁在三角形的一條邊所對應的圓弧上，表1給出這時有可能的連法有3種．

（3）如果圓上有9個點，考慮A₁所在的三角形．此時，其余的6個點可能分布在：
①A₁所在三角形的一個邊所對的弧上；②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上；
在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的弧；如果是情形①，則由（2），
這六個點有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法；共有12種連法．

（4）最后考慮圓周上有12個點．同樣考慮A₁所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能：
①9個點都在同一段弧上；
②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；
③每三個點在A₁所在三角形的一條邊對應的弧上．得到表3；
共有12×3+3×6+1=55種．

所以共有55種不同的連法．

點評：本題主要考查了計數方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個點，6個點，9個點和12個點連成三角形的種數，即采用了化難為易的方法解答．