Question

圓周上有12個點，其中有一個是涂了紅色，還有一個是涂了藍色，其余10個是沒有涂色，以這些點為頂點的凸多邊形中，其頂點包含了紅點及藍點的多邊形稱為雙色多邊形，只包含紅點（藍點）的稱為紅色（藍色）多邊形，不包含紅點及藍點的稱為無色多邊形．試問以這12個點為頂點的所有凸多邊形（邊數從三角形到12邊形）中，雙色多邊形的個數與無色多邊形的個數哪一種多？多多少？

Answer 1

對于任何一個雙色n（n≥5）邊形，顯然去掉紅、藍頂點后，得到一個無色n-2邊形，
不同的雙色n邊形去掉紅藍頂點后，得到的是不同的無色n-2邊形．
反過來，對任一無色多邊形，添上紅藍頂點后，總可以得到一個雙色多邊形，
由此可知，無色多邊形（從三角形到十邊形）的個數與雙色多邊形（從五邊形到十二邊形）的個數相等．
因此，雙色多邊形的個數多，多出來的數目恰是雙色三角形和雙色四邊形的數目．
雙色三角形有10個．
雙色四邊形有

1

2

×10×9=45個．
這是由于每對應一個雙色三角形，可以有九個雙色四邊形，而在90個雙色四邊形中，兩兩相重，故只有45個雙色四邊形．
∴雙色多邊形比無色多邊形多55個．