圓周上有12個點，其中有一個是涂了紅色，還有一個是涂了藍色，其余10個是沒有涂色，以這些點為頂點的凸多邊形中，其頂點包含了紅點及藍點的多邊形稱為雙色多邊形，只包含紅點（藍點）的稱為紅色（藍色）多邊形，不包含紅點及藍點的稱為無色多邊形．試問以這12個點為頂點的所有凸多邊形（邊數從三角形到12邊形）中，雙色多邊形的個數與無色多邊形的個數哪一種多？多多少？
【答案】
分析：分析考察雙色n（n≥5）邊形和去掉紅、藍兩個頂點后得到的無色n-2邊形的個數之間的關系．
解答：解：對于任何一個雙色n（n≥5）邊形，顯然去掉紅、藍頂點后，得到一個無色n-2邊形，
不同的雙色n邊形去掉紅藍頂點后，得到的是不同的無色n-2邊形．
反過來，對任一無色多邊形，添上紅藍頂點后，總可以得到一個雙色多邊形，
由此可知，無色多邊形（從三角形到十邊形）的個數與雙色多邊形（從五邊形到十二邊形）的個數相等．
因此，雙色多邊形的個數多，多出來的數目恰是雙色三角形和雙色四邊形的數目．
雙色三角形有10個．
雙色四邊形有
×10×9=45個．
這是由于每對應一個雙色三角形，可以有九個雙色四邊形，而在90個雙色四邊形中，兩兩相重，故只有45個雙色四邊形．
∴雙色多邊形比無色多邊形多55個．
點評：此題注重邏輯推理，根據雙色多邊形與無色多邊形的個數之間的關系推知二者個數相等是解題的關鍵一步．
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