Question

16．如圖，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（D不與A、B重合），連接CD，作∠CDE=30°，DE交線段AC于點E．
（1）當DE∥BC時，△ACD的形狀是直角三角形（填銳角、直角或鈍角）
（2）請添加一個條件，使得△ADE≌△BCD，并說明理由．
（3）在點D運動的過程中，△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請直接寫出∠AED的度數；若不可以，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由DE∥BC，∠CDE=30°，可得∠BCD=30°，再由∠ACB=120°，即可推出∠ACD=90°，即可推出△ACD的形狀為直角三角形；
（2）根據BC=AD，得到AC=AD，∠ACD=∠ADC，由已知條件即可推出∠A=∠B=30°，即可推出∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，再由∠A=∠CDE=30°，即可推出∠AED=∠BDC，然后通過全等三角形的判定定理“AAS”即可推出結論；
（3）分EC=DE、CD=DE、EC=CD三種情況，根據等腰三角形的性質解答即可．

解答 解：（1）∵DE∥BC，∠CDE=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD的形狀為直角三角形，
故答案為：直角；
（2）添加條件AD=BC，
∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∠A=∠B=30°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，
∴∠A=∠CDE，∠AED=∠BDC，
∴∠AED=∠BDC，
∵在△AED和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠B}\\{∠AED=∠BDC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCD；
（3）△ECD可以是等腰三角形．
理由如下：①當EC=DE時，∠CDE=∠ECD，
∴∠ECD=∠CDE=30°，
∵∠AED=∠ECD+∠CDE，
∴∠AED=60°，
②當CD=DE時，∠ECD=∠CED，
∵∠ECD+∠CED+∠CDE=180°，
∴∠CED=$\frac{180°-30°}{2}$=75°，
∴∠AED=180°-∠CED=105°，
③當EC=CD時，∠CED=∠CDE，
∠ACD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，
∵∠ACB=120°，
∴此時，點D與點B重合，不合題意．
綜上，△ECD可以是等腰三角形，此時∠AED的度數為60°或105．

點評 本題考查的是三角形的有關知識，掌握直角三角形的判定定理、全等三角形的判定定理和性質定理、等腰三角形的性質是解題的關鍵．