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9.正整數(shù)1,2,…9999被分為兩組,第一組中是這樣的一些整數(shù),離它們最近的完全平方數(shù)是奇數(shù).第二組中則是離它們最近的完全平方數(shù)是偶數(shù)的整數(shù).問:哪一組中數(shù)的和較大?(注:1,4,9,16,25,…等為完全平方數(shù))

分析 定義數(shù)列{An}=1,4,9,16,25…通項(xiàng)公式是:An=n2(1≤n<100),而介于An和An+1的中間的數(shù)為:$\frac{1}{2}$(An+An+1)=$\frac{1}{2}$[n2+(n+1)2]=n2+n+$\frac{1}{2}$
所以,介于An和An+1之間的所有正整數(shù)中:n2+1…n2+n 的這些數(shù),距離它們最近的完全平方數(shù)是n2. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),這些數(shù)屬于第一組,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)屬于第二組.它們的總和是:s1(n)=n3+$\frac{1}{2}$n(n+1);n2+n+1…(n+1)2-1的這些數(shù),距離它們最近的完全平方數(shù)是(n+1)2.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),屬于第二組,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),屬于第一組.它們的總和是:s2(n)=n3+n2+$\frac{1}{2}$n(n+1);所以:第一組數(shù)的總和是:S1=s1(1)+s1(3)+…+s1(99)+s2(2)+s2(4)+…+s2(98),第二組數(shù)的總和是:S2=s1(2)+s1(4)+…+s1(98)+s2(1)+s2(3)+…+s2(99);再用作差法即可求解.

解答 解:定義數(shù)列{An}=1,4,9,16,25…通項(xiàng)公式是:An=n2(1≤n<100),
而對(duì)于數(shù)列{An}中,任意連續(xù)的兩項(xiàng):An和 An+1中:
An=n2
An+1=(n+1)2
而介于An和An+1的中間的數(shù)為:$\frac{1}{2}$(An+An+1)=$\frac{1}{2}$[n2+(n+1)2]=n2+n+$\frac{1}{2}$,
所以,介于An和An+1之間的所有正整數(shù)中:
n2+1…n2+n 的這些數(shù),距離它們最近的完全平方數(shù)是n2. 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),這些數(shù)屬于第一組,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)屬于第二組.它們的總和是:s1(n)=n3+$\frac{1}{2}$n(n+1),
n2+n+1…(n+1)2-1的這些數(shù),距離它們最近的完全平方數(shù)是(n+1)2.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),屬于第二組,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),屬于第一組.它們的總和是:s2(n)=n3+n2+$\frac{1}{2}$n(n+1),
所以:第一組數(shù)的總和是:S1=s1(1)+s1(3)+…+s1(99)+s2(2)+s2(4)+…+s2(98),
第二組數(shù)的總和是:S2=s1(2)+s1(4)+…+s1(98)+s2(1)+s2(3)+…+s2(99),
現(xiàn)在計(jì)算:s1(n+1)-s1(n) 和 s2(n+1)-s2(n),結(jié)果分別是:
s1(n+1)-s1(n)=(n+1)3-n3+n+1=3n2+4n+2…(i),
s2(n+1)-s2(n)=(n+1)3+(n+1)2-n2+n+1=3n2+6n+3…(ii),
可以看出:(ii)式的結(jié)果大于(i)式.而:(ii)-(i)得:(ii)-(i)=2n+1,
現(xiàn)在計(jì)算:S2-S1,如下:
S2-S1=[s1(2)-s1(1)]+[s1(4)-s1(3)]+…+[s1(98)-s1(97)]+[s2(1)-s2(2)]+[s2(3)-s2(4)]+…+[s2(97)-s2(98)]+[s2(99)-s1(99)]
=[s1(2)-s1(1)]+[s1(4)-s1(3)]+…+[s1(98)-s1(97)]-[s2(2)-s2(1)]-[s2(4)-s2(3)]-…-[s2(98)-s2(97)]+[s2(99)-s1(99)]
=-(2×1+1)-(2×3+1)-…-(2×97+1)+992
=-49-49×(97+1)+992=-49-49-49×97+992
=-98-49×97+992=9801-4753-98=4950>0,
所以:S2-S1>0,
第二組的數(shù)的和更大一些.

點(diǎn)評(píng) 考查了完全平方數(shù),解題的關(guān)鍵是得到第一組數(shù)的總和和第二組數(shù)的總和,從而可解決此類問題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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