Question

9．正整數(shù)1，2，…9999被分為兩組，第一組中是這樣的一些整數(shù)，離它們最近的完全平方數(shù)是奇數(shù)．第二組中則是離它們最近的完全平方數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)．問：哪一組中數(shù)的和較大？（注：1，4，9，16，25，…等為完全平方數(shù)）

Answer 1

分析 定義數(shù)列{An}=1，4，9，16，25…通項(xiàng)公式是：A_n=n²（1≤n＜100），而介于A_n和A_n+1的中間的數(shù)為：$\frac{1}{2}$（A_n+A_n+1）=$\frac{1}{2}$[n²+（n+1）²]=n²+n+$\frac{1}{2}$
所以，介于A_n和A_n+1之間的所有正整數(shù)中：n²+1…n²+n 的這些數(shù)，距離它們最近的完全平方數(shù)是n²． 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，這些數(shù)屬于第一組，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)屬于第二組．它們的總和是：s₁（n）=n³+$\frac{1}{2}$n（n+1）；n²+n+1…（n+1）²-1的這些數(shù)，距離它們最近的完全平方數(shù)是（n+1）²．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，屬于第二組，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，屬于第一組．它們的總和是：s₂（n）=n³+n²+$\frac{1}{2}$n（n+1）；所以：第一組數(shù)的總和是：S₁=s₁（1）+s₁（3）+…+s₁（99）+s₂（2）+s₂（4）+…+s₂（98），第二組數(shù)的總和是：S₂=s₁（2）+s₁（4）+…+s₁（98）+s₂（1）+s₂（3）+…+s₂（99）；再用作差法即可求解．

解答 解：定義數(shù)列{A_n}=1，4，9，16，25…通項(xiàng)公式是：A_n=n²（1≤n＜100），
而對(duì)于數(shù)列{A_n}中，任意連續(xù)的兩項(xiàng)：A_n和 An+1中：
A_n=n²，
A_n+1=（n+1）²，
而介于A_n和A_n+1的中間的數(shù)為：$\frac{1}{2}$（A_n+A_n+1）=$\frac{1}{2}$[n²+（n+1）²]=n²+n+$\frac{1}{2}$，
所以，介于A_n和A_n+1之間的所有正整數(shù)中：
n²+1…n²+n 的這些數(shù)，距離它們最近的完全平方數(shù)是n²． 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，這些數(shù)屬于第一組，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)屬于第二組．它們的總和是：s₁（n）=n³+$\frac{1}{2}$n（n+1），
n²+n+1…（n+1）²-1的這些數(shù)，距離它們最近的完全平方數(shù)是（n+1）²．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，屬于第二組，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，屬于第一組．它們的總和是：s₂（n）=n³+n²+$\frac{1}{2}$n（n+1），
所以：第一組數(shù)的總和是：S₁=s₁（1）+s₁（3）+…+s₁（99）+s₂（2）+s₂（4）+…+s₂（98），
第二組數(shù)的總和是：S₂=s₁（2）+s₁（4）+…+s₁（98）+s₂（1）+s₂（3）+…+s₂（99），
現(xiàn)在計(jì)算：s₁（n+1）-s₁（n） 和 s₂（n+1）-s₂（n），結(jié)果分別是：
s₁（n+1）-s₁（n）=（n+1）³-n³+n+1=3n²+4n+2…（i），
s₂（n+1）-s₂（n）=（n+1）³+（n+1）²-n²+n+1=3n²+6n+3…（ii），
可以看出：（ii）式的結(jié)果大于（i）式．而：（ii）-（i）得：（ii）-（i）=2n+1，
現(xiàn)在計(jì)算：S2-S₁，如下：
S₂-S₁=[s₁（2）-s₁（1）]+[s₁（4）-s₁（3）]+…+[s₁（98）-s₁（97）]+[s₂（1）-s₂（2）]+[s₂（3）-s₂（4）]+…+[s₂（97）-s₂（98）]+[s₂（99）-s₁（99）]
=[s₁（2）-s₁（1）]+[s₁（4）-s₁（3）]+…+[s₁（98）-s₁（97）]-[s₂（2）-s₂（1）]-[s₂（4）-s₂（3）]-…-[s₂（98）-s₂（97）]+[s₂（99）-s₁（99）]
=-（2×1+1）-（2×3+1）-…-（2×97+1）+99²
=-49-49×（97+1）+99²=-49-49-49×97+99²
=-98-49×97+99²=9801-4753-98=4950＞0，
所以：S₂-S₁＞0，
第二組的數(shù)的和更大一些．

點(diǎn)評(píng) 考查了完全平方數(shù)，解題的關(guān)鍵是得到第一組數(shù)的總和和第二組數(shù)的總和，從而可解決此類問題．