Question

【題目】如圖1，已知直線的同側有兩個點、，在直線上找一點，使點到、兩點的距離之和最短的問題，可以通過軸對稱來確定，即作出其中一點關于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點就是所要找的點，通過這種方法可以求解很多問題.

（1）如圖2，在平面直角坐標系內，點的坐標為，點的坐標為，動點在軸上，求的最小值；

（2）如圖3，在銳角三角形中，，，的角平分線交于點，、分別是和上的動點，則的最小值為______.

（3）如圖4，，，，點，分別是射線，上的動點，則的最小值為__________.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）13.

【解析】

（1）作點A 關于x軸的對稱點，連接，的最小值即為的長，并構造以為斜邊的直角三角形利用勾股定理求出長即可；

（2）作于點H，交AD與點，過點作于點，則的最小值為，由角平分線的性質可得，則，根據直角三角形30度角的性質結合勾股定理求得BH長即可；

（3）作點C關于OB的對稱點，作點D關于OA的對稱點， 連接分別交OA、OB于點，連接，則的最小值為的長，由對稱的性質可得長，根據勾股定理求出長即可.

解：（1）作點A 關于x軸的對稱點，連接，的最小值即為的長，構造以為斜邊的直角三角形

在中，由勾股定理得

即

所以的最小值為5.

（2）作于點H，交AD與點，過點作于點，則的最小值為，

平分，，

在中，

由勾股定理得

所以的最小值為.

（3）作點C關于OB的對稱點，作點D關于OA的對稱點， 連接分別交OA、OB于點，連接，則的最小值為的長.

由對稱可得OA垂直平分，OB垂直平分，

在中由勾股定理得

所以的最小值為13.