Question

有一四邊形ABCD，∠ABC=105?，△BCD是等邊三角形，BC=10，△ABD是等腰三角形．求△ABD的面積．

Answer 1

解：如圖1，∵∠ABC=105?，△BCD是等邊三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=105°-60°=45°，
∵△ABD是等腰三角形，當AD=BD，
∴∠A=∠ABD=45°，
∴∠ADB=90°，
∵BC=10，
∴BD=AD=10，
∴△ABD的面積為：AD×BD=×10×10=50．
如圖2，∵∠ABC=105?，△BCD是等邊三角形，
∴∠DBC=60°，
∴∠ABD=105°-60°=45°，
∵△ABD是等腰三角形，當AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴∠A=90°，
∵BC=10，
∴BD=AD=10，
∴2AB²=BD²=100，
∴AB²=50，
∴△ABD的面積為：AD×BD=AB²=×50=25．
分析：根據已知畫出圖形，利用等邊三角形的性質以及等腰三角形性質，分別分析當AD=BD時以及當AD=AB時的值，即可得出答案．
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質以及等腰直角三角形性質，根據已知的畫出不同圖形進而分類討論得出是解題關鍵．