Question

如圖，拋物線y=

1

4

x2-4交x軸于點Q、M，交y軸于點P，點P關于x軸的對稱點為N．
（1）求點M、N的坐標，并判斷四邊形NMPQ的形狀；
（2）如圖，坐標系中有一正方形ABCD，其中AB=2cm且CD⊥x軸，CD的中點E與Q點重合，正方形ABCD以1cm/s的速度沿射線QM運動，當正方形ABCD完全進入四邊形QPMN時立即停止運動．
①當正方形ABCD與四邊形NMPQ的交點個數為2時，求兩四邊形重疊部分的面積y與運動時間t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
②求運動幾秒時，重疊部分的面積為正方形ABCD面積的一半．

Answer 1

分析：（1）令拋物線y=

1

4

x2-4=0，可求出Q，M的橫坐標，令x=0，則可求出拋物線和縱軸的交點坐標，利用點關于x軸的對稱點的規律可求出N點的坐標，進而可判定四邊形NMPQ的形狀；
（2）①當正方形ABCD與四邊形NMPQ的交點個數為2時，兩四邊形重疊部分的面積y與運動時間t之間的函數關系式隨時間的變化而變化，所以要分類討論；
②當重疊部分的面積為正方形ABCD面積的一半時，由①中的函數關系式可求出此時的時間t．

解答：解：（1）令y=

1

4

x2-4=0，
解得：x₁=4，x₂=-4，
∴Q（-4，0），M（4，0），
令x=0，解得y=-4，
∴P（0，-4），
∴點P關于x軸的對稱點N的坐標是（0，4），
∴OM=ON=OQ=OP，
又∵NP⊥QM，
∴四邊形NMPQ的形狀是正方形．

（2）①當0＜t≤1時，y=t ²；
當1≤t＜2時，y=2t-1；
當2≤t≤3時，y=4-（3-t）²．
∴y=

t2(0＜t≤1) 2t-1(1≤t＜2) 4-(3-t)2(2≤t≤3)

，
②當重疊部分的面積為正方形ABCD面積的一半即S=2時，
即y=2t-1=2，
∴t=

3

2

，
當2=t²，
t=

2

（不合題意舍去，∵0＜t≤1），

點評：本題考查了二次函數與幾何知識（正方形）的綜合應用，將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．