Question

如圖，拋物線的頂點坐標是(

5

2

，-

9

8

)，且經過點A（8，14）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）設該拋物線與y軸相交于點B，與x軸相交于C、D兩點（點C在點D的左邊），試求點B、C、D的坐標；
（3）設點P是x軸上的任意一點，分別連接AC、BC．試判斷：PA+PB與AC+BC的大小關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可用頂點式的二次函數通式設出拋物線的解析式．然后根據A點的坐標即可求出拋物線的解析式．
（2）根據（1）得出的拋物線的解析式即可求出B、C、D的坐標．
（3）如果延長AC交y軸于E點．根據A、C的坐標可求出直線AC的解析式，不難得出E點的坐標，這時可發現E點正好和B點關于x軸對稱，也就是說x軸是線段BE的垂直平分線，因此x軸上任意點到B、E兩點的距離都相等，那么AE=AC+BC，AP+PC=AP+PE，因此本題要分兩種情況進行討論：
①當P、C重合時，此時AC+BC=AP+PC
②當P、C不重合時，在三角形AEP中，根據三角形三邊之間的關系可得出AP+PE＞AE，根據前面分析的結論可得出AP+PC＞AC+BC．
綜合上述兩種情況：AP+BP≥AC+BC．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-

5

2

）²-

9

8

∵拋物線經過A（8，14），
∴14=a（8-

5

2

）²-

9

8

，
解得：a=

1

2

∴y=

1

2

（x-

5

2

）²-

9

8

（或y=

1

2

x2-

5

2

x+2）

（2）令x=0得y=2，
∴B（0，2）
令y=0得

1

2

x²-

5

2

x+2=0，
解得x₁=1、x₂=4
∴C（1，0）、D（4，0）

（3）結論：PA+PB≥AC+BC
理由是：①當點P與點C重合時，有PA+PB=AC+BC
②當點P異于點C時，
∵直線AC經過點A（8，14）、C（1，0），
∴直線AC的解析式為y=2x-2
設直線AC與y軸相交于點E，令x=0，得y=-2，
∴E（0，-2），
則點E（0，-2）與B（0，2）關于x軸對稱
∴BC=EC，連接PE，則PE=PB，
∴AC+BC=AC+EC=AE，
∵在△APE中，有PA+PE＞AE
∴PA+PB=PA+PE＞AE=AC+BC
綜上所得AP+BP≥AC+BC．

點評：本題考查了待定系數法求二次函數解析式以及根據二次函數的解析式求函數與坐標軸交點和拋物線頂點的方法，（3）中準確的作出E點（即B關于x軸的對稱點）并能根據三角形三邊的關系進行求解是解題的關鍵．