Question

3．已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$，將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置，連結BC′，求BC′的長．

Answer 1

分析 連接BB′，根據旋轉的性質可得AB=AB′，判斷出△ABB′是等邊三角形，根據等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BB′，延長BC′交AB′于D，根據等邊三角形的性質可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根據等邊三角形的性質和等腰直角三角形的性質求出BD、C′D，然后根據BC′=BD-C′D計算即可得解．

解答 解：如圖，連結BB′，
∵△ABC繞點A順時針旋轉60°得到△AB′C′．
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等邊三角形，
∴AB=BB′=AB′，
延長BC′交AB′于點D，
又∵AC′=B′C′，
∴BD垂直平分AB′，
∴AD=B′D，
∵∠C=90°，AC=BC=$\sqrt{2}$
∴AB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴AB′=2
∴AD=B′D=1，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$，C′D=$\sqrt{AC{′}^{2}-A{D}^{2}}$=1，
∴BC′=BD-C′D=$\sqrt{3}-1$．

點評 本題考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，作輔助線構造出全等三角形并求出BC′在等邊三角形的高上是解題的關鍵，也是本題的難點．