Question

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根x₁、x₂均為正數，且滿足（其中x₁＞x₂），那么稱這個方程有“鄰近根”．
（1）判斷方程是否有“鄰近根”，并說明理由；
（2）已知關于x的一元二次方程mx²-（m-1）x-1=0有“鄰近根”，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先解方程得到x₁=，x₂=1，則滿足，所以可判斷方程有“鄰近根”；
（2）根據判別式的意義得到m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，利用求根公式解得x₁=1，或，x₂=1，則m＜0，然后討論：
若x₁=1，，則，是關于m的正比例函數，根據正比例函數性質得到-2＜m＜-1；
若，x₂=1，則，是關于m的反比例函數，根據反比例函數性質得，最后綜合得到m的取值范圍．
解答：解：（1）方程有“鄰近根”．理由如下：
∵，
∴（x-1）（x-）=0，
∵x₁＞x₂，
∴x₁=，x₂=1，
這時x₁＞0，x₂＞0，且，
∵，
∴滿足，
∴方程有“鄰近根”；

（2）由已知m≠0且△=（m-1）²-4m×（-1）=（m+1）²≥0，
∴
∴x₁=1，或，x₂=1，
∵一元二次方程ax²+bx+c=0有“鄰近根”，
∴x₁、x₂均為正數，
∴m＜0
若x₁=1，，則，是關于m的正比例函數，
∵-1＜0，
∴隨m的增大而減小．
當1＜-m＜2時，
∴-2＜m＜-1；
若，x₂=1，則，是關于m的反比例函數，
∵-1＜0，
∴在第二象限，隨m的增大而增大．
當時，
∴．…（9分）
綜上，m的取值范圍是-2＜m＜-1或．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了解一元二次方程和正比例與反比例函數性質．