Question

關于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，
（1）a為何值時，方程的一根為0？
（2）a為何值時，兩根互為相反數？
（3）試證明：無論a取何值，方程的兩根不可能互為倒數．

Answer 1

【答案】分析：（1）若方程的一根為0，則兩根的積必為0，根據此關系可求出a的值；
（2）根據相反數的概念及一元二次方程兩根之和與系數的關系解答即可；
（3）根據倒數的概念及一元二次方程兩根之積與系數的關系證明即可．
解答：解：（1）∵關于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，一根為0，
∴=0，
∴-a+1=0，解得a=1；


（2）∵關于x的方程2x²-（a²-4）x-a+1=0，兩根互為相反數，
∴=0，解得：a=±2；
把a=2代入原方程得，2x²-1=0，x=±，
把a=-2代入原方程得，2x²+3=0，x²=-，無解．
故當a=2時，原方程的兩根互為相反數．

（3）因為互為倒數的兩個數積為1，所以x₁x₂==1，
即=1，
解得，a=-1，
把a=-1代入原方程得，2x²+3x+2=0，
∵△=3²-4×2×2=-7＜0，
∴原方程無解，
∴無論a取何值，方程的兩根不可能互為倒數．
點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是熟知一元二次方程根與系數的關系，解答此類題目時要注意把求得結果代入原方程進行檢驗，利用一元二次方程根的判別式判斷原方程是否有解．