Question

（1）已知a、b滿足a²-4a-5=0，b²-4b-5=0，求

a

b

+

b

a

的值
（2）已知a、b滿足5a²-4a-3=0，3b²+4b-5=0，且ab≠1，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）討論：當(dāng)a=b，易得原式=2；當(dāng)a≠b，則a、b可看作方程x²-4x-5=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=4，ab=-5，然后變形原式得到

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

，再利用整體代入方法計算；
（2）先變形3b²+4b-5=0得到5（

1

b

）²-4•

1

b

-3=0，則a和

1

b

可看作方程5x²-4x-3=0的兩根，然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解．

解答：解：（1）當(dāng)a=b，則原式=1+1=2；
當(dāng)a≠b，則a、b可看作方程x²-4x-5=0的兩根，所以a+b=4，ab=-5，
所以原式=

a2+b2

ab

=

(a+b)2-2ab

ab

=

16+10

-5

=-

26

5

；

（2）3b²+4b-5=0變形為5（

1

b

）²-4•

1

b

-3=0，
∵ab≠1，
∴a和

1

b

可看作方程5x²-4x-3=0的兩根，
所以a•

1

b

=-

3

5

．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．