Question

1．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=30°，D，E分別為邊AB，AC上的動點，且DE∥BC，設BD=x，四邊形BDCE的面積為S．若四邊形DBCE的周長為60，則S關于x的函數表達式是S=-$\frac{1}{2}$x²+15x，四邊形DBCE的面積最大值為$\frac{225}{2}$．

Answer 1

分析 如圖，過D作DF⊥BC于F，根據平行線等分線段定理得到CE=BD=x，根據直角三角形的性質得到DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x，根據梯形的面積公式即可得到結論．

解答 解：如圖，過D作DF⊥BC于F，
∵AB=AC，DE∥BC，
∴CE=BD=x，
∵∠B=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x，
∵四邊形DBCE的周長為60，
∴DE+BC=60-2x，
∴S=$\frac{1}{2}$（BC+DE）•DF=$\frac{1}{2}$（60-2x）$•\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$x²+15x，
即S=-$\frac{1}{2}$（x-15）²+$\frac{225}{2}$，
∴四邊形DBCE的面積最大值=$\frac{225}{2}$．
故答案為：S=-$\frac{1}{2}$x²+15x，$\frac{225}{2}$．

點評 本題考查了二次函數的應用，等腰三角形的性質，解直角三角形，圖形面積的計算，正確的作出圖形是解題的關鍵．