Question

【題目】（1）數(shù)學(xué)理解：如圖①，△ABC是等腰直角三角形，過(guò)斜邊AB的中點(diǎn)D作正方形DECF，分別交BC，AC于點(diǎn)E，F，求AB，BE，AF之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）問(wèn)題解決：如圖②，在任意直角△ABC內(nèi)，找一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作正方形DECF，分別交BC，AC于點(diǎn)E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度數(shù)；

（3）聯(lián)系拓廣：如圖③，在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)ED，FD，交AB于點(diǎn)M，N，求MN，AM，BN的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】數(shù)學(xué)理解：（1）AB＝（AF+BE）,理由見解析；問(wèn)題解決：（2）∠ADB＝135°；聯(lián)系拓廣：（3）MN2＝AM2+NB2，

【解析】

數(shù)學(xué)理解：
（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，∠A=∠B=45°，AB＝AC，由正方形的性質(zhì)可得DE=DF=CE，∠DFC=∠DEC=90°，可求AF=DF=CE，即可得AB＝（AF+BE）；

問(wèn)題解決：
（2）延長(zhǎng)AC，使FM=BE，通過(guò)證明△DFM≌△DEB，可得DM=DB，通過(guò)△ADM≌△ADB，可得∠DAC=∠DAB=∠CAB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，由三角形內(nèi)角和定理可求∠ADB的度數(shù)；

聯(lián)系拓廣：
（3）由正方形的性質(zhì)可得DE∥AC，DF∥BC，由平行線的性質(zhì)可得∠DAB=∠ADM，∠NDB=∠ABD，可得AM=MD，DN=NB，即可求MN，AM，BN的數(shù)量關(guān)系．

數(shù)學(xué)理解：

（1）AB＝（AF+BE）

理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形

∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC

∵四邊形DECF是正方形

∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°

∴∠A＝∠ADF＝45°

∴AF＝DF＝CE

∴AF+BE＝BC＝AC

∴AB＝（AF+BE）

問(wèn)題解決：

（2）如圖②，延長(zhǎng)AC，使FM＝BE，連接DM，

∵四邊形DECF是正方形

∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°

∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED

∴△DFM≌△DEB（SAS）

∴DM＝DB

∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，

∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD

∴△ADM≌△ADB（SSS）

∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB

同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°

∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°

∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°

聯(lián)系拓廣：

（3）∵四邊形DECF是正方形

∴DE∥AC，DF∥BC

∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°

∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD

∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD

∴AM＝MD，DN＝NB

在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，

∴MN2＝AM2+NB2.