Question

【題目】已知四邊形是正方形，、相交于點，過點作的平分線分別交、于點、．

（1）如圖，求證：；

（2）如圖，連接，在不添加其他字母和輔助線的條件下，直接寫出圖中所有的等腰三角形（等腰直角三角形除外）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）， ， ， .

【解析】

（1）取AF的中點G，連接OG，根據(jù)三角形的中位線得出OG=FC，OG//FC，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠0AB、∠ABO、∠OCB的度數(shù)，求出∠OEA和∠OGF的度數(shù)，推出OG=OE即可；

（2）由已知條件和三角形內(nèi)角和定理可得∠DAE=∠DEA，∠DEC=∠DCE，∠BEF=∠BFE，進(jìn)而可得△DAE；△DCE；△BEF是等腰三角形，由垂直平分線的性質(zhì)可得AE=CE進(jìn)而可得△AEC是等腰三角形.

解：證明：（1）如圖：取的中點G，連接OG．

∵正方形，、交于點，

∴，．

∵，

∴，．

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

∴．

（2）

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，AO=CO，∠BAC=∠DAC=45°，

∴AE=CE，

∴△AEC是等腰三角形；

∵過點A作∠BAC的平分線分別交BD、BC于E、F，

∴∠BAF=∠CAF=22.5°，

∴∠DAE=67.5°，

∴∠AED=67.5°，

∴AD=ED，

∴△ADE是等腰三角形，AE=CE，

∵∠ECA=∠EAC=22.5°，

∴∠ECD=67.5°，

∴∠DEC=∠DCE=67.5°，

∴DE=CE，

∴△DEC是等腰三角形，

∵∠BEF=∠BFE=67.5°，

∴BE=BF，

∴△BEF是等腰三角形.

可直接寫出圖中所有的等腰三角形有：， ， ， .