Question

【題目】在平面直角坐標系中，為原點，點，點，把繞點順時針旋轉，得，點，旋轉后的對應點為，.記旋轉角為.

(Ⅰ)如圖①，若，求的長；

(Ⅱ)如圖②，若，求點的坐標；

(Ⅲ)記為的中點，S為的面積，求S的取值范圍(直接寫出結果即可).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)點的坐標為；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的長，根據旋轉的性質可得∠BAB′=90°，AB=AB′，利用勾股定理求出BB′的長即可；(Ⅱ) 點作軸，垂足為，由旋轉的性質可得，.即可求出∠O′AC=60°，利用∠O′AC的三角函數可求出OC和AC的長，進而可得OC的長，即可得答案；(Ⅲ)由旋轉的性質可得點O′在以A為圓心，AO為半徑的圓上，且O′B′為圓的切線，可得O′在AB上時S最小，O′在BA的延長線上時S最大，先求出KO′的長，進而求出S的值即可得答案.

(Ⅰ)∵點，點，

∴，.

在中，由勾股定理，得.

根據題意，是繞點順時針旋轉得到的，

由旋轉的性質，可得，.

∴在中，.

(Ⅱ)如圖，根據題意，由旋轉的性質，

可得，.

過點作軸，垂足為，則.

在中，

由，

得，

.

有.

∴點的坐標為.

(Ⅲ)如圖，由旋轉的性質可得點O′在以A為圓心，AO為半徑的圓上，且O′B′為圓的切線，

∴O′在AB上時S最小，O′在BA的延長線上時S最大，

當O′在AB上時，

∵K為AB中點，

∴AK=，

∴KO′=4-=

∴S=××3=，

當O′在BA的延長線上時，KO′=AK+AO′=+4=，

∴S=××3=，

∴S的取值范圍為：≤S≤.