Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線AO交BC于點O，以O為圓心，OC長為半徑作⊙O，⊙O交AO所在的直線于D、E兩點(點D在BC左側)．

(1)求證：AB是⊙O的切線；

(2)連接CD，若AC＝AD，求tan∠D的值；

(3)在(2)的條件下，若⊙O的半徑為5，求AB的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)tan∠D=；(3)AB=.

【解析】

(1)如圖，過點O作OF⊥AB，,求出OC=OF,證明OF為⊙O半徑，且OF⊥AB，即可求解；

(2)連接CE,根據∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A，求出△ACE∽△ADC，可得，即可求解；

(3)根據△ACE∽△ADC，得，根據AO＝AO，OC＝OF，證明Rt△AOF≌Rt△AOC，求出AF＝AC＝12，根據∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°，證明△OBF∽△ABC，可得

，求出BF,即可求解.

證明：(1)如圖，過點O作OF⊥AB，

∵AO平分∠BAC，OF⊥AB，∠ACB＝90°

∴OC＝OF，

∴OF為⊙O半徑，且OF⊥AB

∴AB是⊙O切線．

(2)連接CE

∵DE是直徑

∴∠DCE＝90°

∵∠ACB＝90°

∴∠DCE＝∠ACB

∴∠DCO＝∠ACE

∵OC＝OD

∴∠D＝∠DCO

∴∠ACE＝∠D，且∠A＝∠A

∴△ACE∽△ADC

∴

∴tan∠D＝=

(3)∵△ACE∽△ADC

∴

∴AC2＝AD(AD﹣10)，且AC＝AD

∴AD＝18

∴AC＝12

∵AO＝AO，OC＝OF

∴Rt△AOF≌Rt△AOC(HL)

∴AF＝AC＝12

∵∠B＝∠B，∠OFB＝∠ACB＝90°

∴△OBF∽△ABC

∴

即

∴

∴BF＝

∴AB＝FA+BF＝12+=