Question

如圖2，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點E，F分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點C落在AD上的一點H處，點D落在點G處，下列結論：①四邊形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當點H與點A重合時，EF=2．其中結論正確的個數是（ ）．

（A）1個 （B）2個 （C）3個 （D）4個

 

Answer 1

C

【解析】

試題分析：先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據翻折的性質可得CF=FH，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；根據菱形的對角線平分一組對角線可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，判斷出②錯誤；點H與點A重合時，設BF=x，表示出AF=FC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，點G與點D重合時，CF=CD，求出BF=4，然后寫出BF的取值范圍，判斷出③正確；過點F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．

∵FH與CG，EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分，

∴FH∥CG，EH∥CF，

∴四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質得，CF=FH，

∴四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

∴∠BCH=∠ECH，

∴只有∠DCE=30°時EC平分∠DCH，（故②錯誤）；

點H與點A重合時，設BF=x，則AF=FC=8-x，

在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

即42+x2=（8-x）2，

解得x=3，

點G與點D重合時，CF=CD=4，

∴BF=4，

∴線段BF的取值范圍為3≤BF≤4，（故③正確）；

過點F作FM⊥AD于M，

則ME=（8-3）-3=2，

由勾股定理得，

EF=，（故④正確）；

綜上所述，結論正確的有①③④共3個．

故選：C．

考點：1.翻折變換（折疊問題）；2.勾股定理的應用；3.菱形的判定與性質．