Question

7．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，BC=6，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由等腰三角形的性質和角平分線的定義得出∠DAC=∠OCA，于是可判斷OC∥AD，由于AD⊥CD，則OC⊥CD，然后根據切線的判定定理即可得到結論；
（2）連接BC，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，由于∠DAC=∠OAC，則可判斷△ACD∽△ABC，然后利用相似比可計算出CD的長．

解答 （1）證明：連接OC．如圖1所示
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴DA∥OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥DC，
∵OC為半徑，
∴DC為⊙O的切線．
（2）解：連接BC，如圖2所示：
∵AB是⊙O的直徑，
∴AB=10，∠ACB=90°=∠ADC，
∴AC=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
又∵∠DAC=∠OAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{CD}{6}=\frac{8}{10}$，
解得：CD=4.8．

點評 本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、平行線的判定與性質、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質；熟練掌握切線的判定，由圓周角定理證出△ACD∽△ABC是解決問題（2）的關鍵．